无思之域

　　在3维世界里很难去想象更多维度的空间是什么样子是相当困难的任务，但很多的理论又是建立在多维空间的基础上的，著名的弦论甚至增加了高达10个额外维度，我的头脑有些混乱，究竟这些在理论中存在的多维空间是不是真实存在？是不是有存在的必要呢？

克莱茵瓶，是解释4维空间存在的最好例证

在1882年，著名数学家菲立克斯·克莱因(Felix Klein)发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样
封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面。
 
 　　我们可以说一个球有两个面——外面和内面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一个洞，就无法爬到内表面上去。轮胎面也是一样，有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同，我们很容易想象，一只爬在“瓶外”的蚂蚁，可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去——事实上克莱因瓶并无内外之分！在数学上，我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型，而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。
　　　　　　 　　　　　　　　　　
　　如果我们观察克莱因瓶的图片，有一点似乎令人困惑——克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。事实是：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。这是怎么回事呢？

　　我们用扭节来打比方。看这个图形，

如果我们把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线，它并不和自己相交，而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空
间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样；就好象最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。

大家大概都知道莫比乌斯带。你可以把一条纸带的一段扭180度，
再和另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。这也是一个只有一个面的曲面，但是和球面、轮胎面和克莱因瓶不同的是，它有边（注意，它只有一条边）。如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来，你就得到了一个克莱因瓶（当然不要忘了，我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合，否则的话就不得不把纸撕破一点）。同样地，如果把一个克莱因瓶适当地剪开来，我们就能得到两条莫比乌斯带。

　　除了我们上面看到的克莱因瓶的模样，还有一种不太为人所知的
“８字形”克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同，但是在四维
空间中它们其实就是同一个曲面——克莱因瓶。

　　　　　　　　　　　　　　　８字形克莱因瓶
  

事实上，多维空间也许正已多种方式出现在这个3维空间内，真让人兴奋啊！