【第021题】（远山供题）从前，有一位老者准备把家里17头牛分给他的三个儿子，老大占1/2，老二占1/3，老三占1/9，应该怎样分这些牛？三个儿子各分得多少头？
【征答综述】
这是一道经典的名题，不仅经常为中小学教师在课堂上引用，也不时见于各种数学科普作品中。本题的讨论吸引了一百多位教师参与，提出了各自的见解。解决此题的办法中，流传最广的就是“借一法”，即向邻居借1头牛，使总数变成18头，则三个儿子各分到18×1/2、18×1/3、18×1/9即9、6、2头，剩下1头正好归还邻居。这种解法的优势在于：借一后，总数恰好变成2、3、9的公倍数，“不可分”变成了“可分”从而“解决”了问题。
但是许多老师指出，借一法实际上“偷换”题中的单位1量，将被分配的总数从17变成了18。例如大儿子原先应当占17的1/2，却变成为占18的1/2，这样实质上是改变了原题的条件。因此，更多的老师在自己的教学中，采用了“按比例分配”的解法，即将1/2、1/3、1/9看成是各人所应分得的百分比，并化简为9∶6∶2(也可不化简)，再将总数17头按这个比例分配，得到9、6、2头。
可贵的是，一些老师并不止步于此，他们注意到了按原先的分率第一次并不能将17头牛分完，还剩下17×(1-1/2-1/3-1/9)=17/18头牛，并提出还可以按照三人的分率再一次分配，并且这个过程可以无限地继续下去，形成一个无穷递缩等比数列，剩下的头数趋向于零。以大儿子为例，最后可分得的数量为：
17×1/2+17/18×1/2+17/18^2×1/2+17/18^3×1/2+……=17/2×(1+1/18+1/18^2+1/18^3+……)=17/2×1/(1-1/18)=17/2×18/17=9头。同理可得其他两人分别得到6、2头。
这种不满足于问题的表面“解决”，在别人止步时再走一步的思维方式正是教学110所提倡的探究精神，也是数学教师所应当具备的学科素质。如果此时再以第三种解法反证前面的两种，就会发现，借一法，实际上是用借来的“一”掩盖了对余下头数再继续无穷分下去的过程，直接得到答案。
我们认为，借一法在小学课堂中是不应该提倡的，这种似是而非的解决将影响学生对问题本质的把握，当然，如果有学生通过课外阅读提出了这种解法，则可引导对“借一”造成单位1量的变化进行探究。对于小学生，按比例分配的解法比较符合他们的知识水平和理解能力，而无穷分解法，则比较适应于学有余力的学生。分析此题时，应避免因结合生活实际而陷入推究所谓的“老汉原意”的泥潭。同时教师应了解：虽然牛个体无法分割，但在现实中，分割财产完全可以借助中介物例如货币来完成。最后不妨指出，具有本题特点的总数共有7组，分别为41(2、3、7)、23(2、3、8)、17(2、3、9)、11(2、3、12)、19(2、4、5)、11(2、4、6)、7(2、4、8)。
【征答综述】
这是一道经典的名题，不仅经常为中小学教师在课堂上引用，也不时见于各种数学科普作品中。本题的讨论吸引了一百多位教师参与，提出了各自的见解。解决此题的办法中，流传最广的就是“借一法”，即向邻居借1头牛，使总数变成18头，则三个儿子各分到18×1/2、18×1/3、18×1/9即9、6、2头，剩下1头正好归还邻居。这种解法的优势在于：借一后，总数恰好变成2、3、9的公倍数，“不可分”变成了“可分”从而“解决”了问题。
但是许多老师指出，借一法实际上“偷换”题中的单位1量，将被分配的总数从17变成了18。例如大儿子原先应当占17的1/2，却变成为占18的1/2，这样实质上是改变了原题的条件。因此，更多的老师在自己的教学中，采用了“按比例分配”的解法，即将1/2、1/3、1/9看成是各人所应分得的百分比，并化简为9∶6∶2(也可不化简)，再将总数17头按这个比例分配，得到9、6、2头。
可贵的是，一些老师并不止步于此，他们注意到了按原先的分率第一次并不能将17头牛分完，还剩下17×(1-1/2-1/3-1/9)=17/18头牛，并提出还可以按照三人的分率再一次分配，并且这个过程可以无限地继续下去，形成一个无穷递缩等比数列，剩下的头数趋向于零。以大儿子为例，最后可分得的数量为：
17×1/2+17/18×1/2+17/18^2×1/2+17/18^3×1/2+……=17/2×(1+1/18+1/18^2+1/18^3+……)=17/2×1/(1-1/18)=17/2×18/17=9头。同理可得其他两人分别得到6、2头。
这种不满足于问题的表面“解决”，在别人止步时再走一步的思维方式正是教学110所提倡的探究精神，也是数学教师所应当具备的学科素质。如果此时再以第三种解法反证前面的两种，就会发现，借一法，实际上是用借来的“一”掩盖了对余下头数再继续无穷分下去的过程，直接得到答案。
我们认为，借一法在小学课堂中是不应该提倡的，这种似是而非的解决将影响学生对问题本质的把握，当然，如果有学生通过课外阅读提出了这种解法，则可引导对“借一”造成单位1量的变化进行探究。对于小学生，按比例分配的解法比较符合他们的知识水平和理解能力，而无穷分解法，则比较适应于学有余力的学生。分析此题时，应避免因结合生活实际而陷入推究所谓的“老汉原意”的泥潭。同时教师应了解：虽然牛个体无法分割，但在现实中，分割财产完全可以借助中介物例如货币来完成。最后不妨指出，具有本题特点的总数共有7组，分别为41(2、3、7)、23(2、3、8)、17(2、3、9)、11(2、3、12)、19(2、4、5)、11(2、4、6)、7(2、4、8)。
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