簡單生活

三、复合函数的定义域、值域是疑点

【例3】 已知函数f(x)的值域是［2，5］，求函数g(x)= －f(x)的值域.

分析：可用换元法，令 =t，转化为关于t的二次函数求值域.

解：∵2≤f(x)≤5，

∴1≤f(x)－1≤4.

∴1≤ ≤2.

设 =t (1≤t≤2)，∴f(x)=t²+1.

∴g(x)=－t²+t－1=－(t－ )²－ .

∵1≤t≤2，而g(x)=－t²+t－1在［1，2］上为减函数，

∴－3≤g(x)≤－1.

归纳：本题是运用换元法、配方法，充分利用原自变量的取值，来确定新未知数的取值范围.

【类题演练3】 已知函数f(x)=x+ 的定义域为(0，a］且a＜b，求函数f(x)的值域.

解：令0＜x₁＜x₂≤a＜b，

则x₁－x₂＜0且x₁x₂＜b²，

f(x₁)－f(x₂)=(x₁－x₂)( )＞0，

∴f(x₁)－f(x₂)＞0.

∴f(x₁)＞f(x₂)，则f(x)在(0，a］上是减函数.

∴当x=a时，f(x)的最小值为a+ .

∴f(x)≥a+ .

四、备用题

1.设函数f(x)=f( )lgx+1，则f(10)的值为

A.1                      B.－1     

C.10                         D.

解析：x用10、 代换，得

消去f( )，得f(10)=1.故选A.

答案：A

归纳：此题是抽象函数求表达式，x用 代，两式联立即可求f(x)的表达式.

2.已知x₁、x₂是方程x²－(k－2)x+k²+3k+5=0(k∈R)的两个实数根，求x₁²+x₂²的最大值.

解：∵Δ=(k－2)²－4(k²+3k+5)≥0，

∴－4≤k≤－ .x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²－2x₁x₂=(k－2)²－2(k²+3k+5)=－k²－10k－6=－(k+5)²+19.

当k=－4时，(x₁²+x₂²)_max=18.

归纳：注意方程有两个实根时k的条件和韦达定理的应用.

●解题方法归纳

1.根据给出函数解析式求定义域的基本题型：①y=f(x)(多项式)定义域R.

②y= f(x)≠0.③y= f(x)≥0.④y=［f(x)］⁰ f(x)≠0.⑤y=log_φ(x)f(x)

⑥y=x^α定义域需要讨论.⑦y=

f［φ(x)］复合函数等.常用办法是：(a)利用解不等式(组)、方程的方法求其定义域.(b)利用题设中的实际意义来规定自变量的取值.(c)利用反函数法求定义域，因为y=f(x)与y=f^－1(x)定义域与值域互换，也谓“正难则反”的转化思想.(d)复合函数y=f［φ(x)］，先由y=f(u)成立的条件定u的取值范围，再由u的取值范围来确定u=φ(x)中x的取值范围.含有参数函数定义域的求法，采用分类讨论法(对参数实施).

2.求函数值域的常用方法是：观察法、配方法、判别式法、单调性法、反函数法、不等式法、换元法、图象法等.在求函数值域时要根据问题的不同特点，综合而灵活地运用不同方法求之，注重以方法将题进行分类，如：y= 值域的求法是“Δ法”;又如y=x+ (x＜0)值域的求法可采用“不等式法”等.