先验概率与后验概率（转）

我的日志 2008-1-7 16:28

"概率就是无知, 而不是事务本身是随机的".

事情有N种发生的可能,我们不能控制结果的发生,或者影响结果的机理是我们不知道或是太复杂超过我们的运算能力. 新发一个物种, 到底是猫,还是小老虎呢(朱道元的经典例子)? 是由于我们的无知才不能确定判断.

先验概率 ( Prior probability)

先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个变量; 而后验概率是在考虑了一个事实之后的条件概率. 先验概率通常是经验丰富的专家的纯主观的估计. 比如在法国大选中女候选罗雅尔的支持率 p, 在进行民意调查之前, 可以先验概率来表达这个不确定性.

后验概率 ( posterior probability)

Def: Probability of outcomes of an experiment after it has been performed and a certain event has occured.

后验概率可以根据通过Bayes定理, 用先验概率和似然函数计算出来. 下面的公式就是用先验概率密度乘上似然函数,接着进行归一化, 得到不定量X在Y=y的条件下的密度,即后验概率密度:

$f_{X\mid Y=y}(x)={f_X(x) L_{X\mid Y=y}(x) \over {\int_{-\infty}^\infty f_X(x) L_{X\mid Y=y}(x)\,dx}}$

其中f_X(x) 为X的先验密度,

L_{X | Y = y}(x) = f_{Y | X = x}(y) 为似然函数..

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